自动控制原理

自动控制原理 Fundamentals of Control Engineering

授课教师：翁正新教授
教材：工程控制基础（第2版） 清华大学出版社

课程大纲
绪论
课时目标：理解自动控制的基本概念，了解自动控制的历史与现状、及其与人类文明进步的关系。了解自动控制系统的基本组成和分类，掌握常见控制系统原理框图的绘制。
1.1 初识自动控制
1.2 自动控制发展简史
1.3 身边的自动控制系统
1.4 自动控制系统的分类
控制系统的数学模型
课时目标：初步掌握建立电学系统、机械系统数学模型（微分方程、传递函数）的基本原理和方法。了解方块图化简的基本法则，能够通过方块图化简求取系统闭环传递函数。掌握利用Mason增益公式求取系统闭环传递函数的方法。
2.1 数学模型简介
2.2 时域数学模型——微分方程
2.3 复域数学模型——传递函数
2.4 方块图
2.5 信号流图及Mason增益公式
自动控制系统的时域分析
课时目标：理解稳定性的基本概念，掌握Routh稳定判据及其应用。掌握控制系统稳态误差的求取方法。熟练掌握二阶系统动态响应指标的计算。了解高阶系统动态响应指标的求取方法。
3.1 典型测试信号
3.2 稳定性的基本概念
3.3 Routh稳定性判据
3.4 Routh稳定性判据的应用实例
3.5 控制系统的稳态特性
3.6 稳态误差计算
3.7 控制系统的动态响应指标
3.8 二阶系统的动态响应
3.9 高阶系统的动态响应
根轨迹法
课时目标：了解根轨迹的定义，以及幅值条件和相角条件。掌握根轨迹的绘制方法。以及基于根轨迹的稳定性分析。了解开环零极点的变化对根轨迹的影响。
4.1 根轨迹的基本概念
4.2 绘制根轨迹的基本原则
4.3 根轨迹的绘制及稳定性分析
4.4 开环零极点的变化对根轨迹的影响
线性系统的频域分析
课时目标：了解控制系统频率特性的基本概念（定义、表示方式），以及极坐标图、对数频率特性图的绘制方法。掌握频域的稳定性分析方法—Nyquist稳定性判据。掌握基于频率特性的性能分析方法。熟练掌握基于对数频率特性图的传递函数求取方法。
5.1 频率特性
5.2 极坐标图
5.3 对数频率特性图
5.4 对数频率特性的绘制方法
5.5 奈氏稳定性判据
5.6 Bode图上的奈氏判据
5.7 基于频率特性的性能分析
5.8 闭环频率特性
5.9 频率特性测试和传递函数求取
线性控制系统的设计
课时目标：了解经典控制理论系统校正的一般方法以及串联校正、反馈校正、前馈校正的基本概念。熟练掌握基于Bode图的相位超前校正、相位滞后校正、相位超前—滞后校正方法。了解PID控制以及PID参数整定方法。
6.1 控制系统的校正方法
6.2 相位超前校正
6.3 相位滞后校正
6.4 相位超前-滞后校正
6.5 PID控制
6.6 PID参数整定

第一章 绪论

1.1 初识自动控制

• 系统: 由一些元部件按一定要求连接并具有某一特定功能的整体
• 自动控制: 在没有人直接干预的情况下，通过控制装置使被控对象或过程自动按照预定的规
  律运行，使之具有一定的状态和性能
• 自动控制系统: 在控制过程中不需要人的直接参与，由控制器实现控制的系统
• 经典控制理论: 以传递函数为基础，研究单输入-单输出控制系统的分析与设计
• 现代控制理论: 以状态空间法为基础，研究多输入－多输出、时变、非线性等控制系统的分析和设计
• 智能控制理论: 以人工智能理论为基础，研究具有模糊性、不确定性、不完全性、偶然性的系统

开环控制系统

系统的被控制量（输出量）对系统的控制量（输入量）没有影响，即被控制量只能受控于控制量，而对控制量无反作用。

优点：结构简单，成本低廉，工作稳定，不存在振荡问题。

缺点：不能自动修正系统内部的参数变化以及外部未知干扰对系统输出的影响

适用场合：系统的控制精度要求不高；外界未知扰动对系统的影响不大；扰动的影响可以预计并加以补偿

闭环控制系统

输出量通过适当的测量装置将测量信号的全部或一部分返回输入端，使之与输入量进行比较

优点：有效抑制系统元件参数的变化以及外部未知干扰对系统的影响
缺点：可能出现动态不稳定、 振荡甚至飞跑现象；可能会引入不希望的传感器噪声

1.2 自动控制发展简史

系统和控制理论发展的早期先驱包括J.C.Maxwell（麦克斯韦）;H.Black（布莱克）;H.Nyquist（奈奎斯特）;H.W.Bode（伯德）

1.3 身边的自动控制系统

例子略 熟悉课本即可

典型控制系统的组成

• 输入信号： 输入到系统中控制输出量变化的信号称为输入信号，又称给定量。
• 输入变换装置： 将输入信号变换成比较装置要求的物理量的装置。
• 反馈装置： 用来测量被控量并按特定的函数关系反馈到系统输入端的器件称为反馈装置或检测装置。
• 主反馈信号： 反馈装置的输出为主反馈信号。根据极性，把反馈信号与输入信号同极性的反馈叫正反馈，
  反极性的反馈叫负反馈。
• 比较装置： 将输入变换装置的输出与反馈信号进行比较，确定两者之间的偏差量。
• 执行装置： 根据控制信号直接对控制对象进行操纵的元件。
• 校正装置： 为改善系统性能而引入的装置。 串联校正装置是串接在系统前向通道中的校正装置。而在系统局部反馈回路内接入的反馈装置称为反馈校正装置。
• 被控对象： 要进行控制的设备或过程。
• 输出信号： 被控对象的输出，也称被控量。
• 扰动信号： 除输入信号外，影响系统输出的其它输入统称为扰动信号。

1.4 自动控制系统的分类

1. 按信号传递路径分类
   1. 开环控制系统：系统的输出端与输入端不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用不发生影响的系统。
   2. 闭环控制系统（反馈控制系统）：输出信号通过测量元件反馈到系统的输入端，与输入信号进行比较产生误差信号，并通过相应的控制作用减小系统误差。
2. 按输入量的变化规律分类
   1. 恒值控制系统（或称自动调节系统）：系统的输入量是一个常值，要求输出量相应地保持恒定。
   2. 随动系统（或称伺服系统）输入量是预先未知的随时间任意变化的函数，要求输出量以尽可能小的误差跟随输入量的变化而变化。
   3. 程序控制系统输入量是按预定规律随时间变化的函数，要求输出量迅速、准确地加以复现。
3. 按系统传输信号的性质分类
   1. 连续系统：系统各部分的信号都是时间的连续函数。
   2. 离散系统：系统中至少有一处信号是脉冲信号或数字信号。
4. 按系统的输入输出特性分类
   1. 线性系统：由线性元件构成，其运动规律可用线性微分方程来描述。
   2. 非线性系统：构成系统的元件中有一个或一个以上是非线性的。

第二章 控制系统的数学模型

什么是数学模型？

数学模型是对实际物理系统的一种数学抽象。从狭义而言，它是一种描述系统各变量之间关系的数学表达式；从广义而言，凡揭示控制系统各变量内在联系及关系的解析式或图形表示都称为数学模型。

• 静态模型：在静态条件下（即变量的各阶导数为零） ，描述变量之间关系的代数方程。
• 动态模型：描述系统在动态过程中各变量之间关系的微分（差分） 方程。
• 数学模型表示形式：
  • 图形表示：信号流图，方块图，频率特性图
  • 数学表示：微分（差分）方程，代数方程；传递函数，频率特性；状态方程
• 建立数学模型的原则
  • 分清主次，合理简化，建立适当的数学模型：依据分析研究的目的和准确性的需要，忽略系统的一些次要因素，使系统的数学模型简化。
  • 根据选定的系统分析方法建立相应的数学模型 经典控制：传递函数、频率特性或微分方程；现代控制：状态方程
• 建立数学模型的方法
  • 分析法：从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，通过分析和推导，将实际系统的具体行为用数学形式表示出来，并经过实验验证
  • 实验法：对实际系统加入一定形式的输入信号，获取系统输出响应，据先验知识经分析建立数学模型

控制系统的时域数学模型

建立系统微分方程的步骤：

1. 分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，将系统划分成若干环节，确定系统和每个环节的输入输出量。
2. 通过反映环节内在运动规律的基本物理或化学定律，依次写出各环节的原始运动方程式，在保证分析精度的条件下进行适当的简化。
3. 消去中间变量，得到只含有输入量和输出量的方程式，并化成标准形式。
   
   为输入量, 为输出量

后略

控制系统的复域数学模型

传递函数

传递函数的定义

传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

零初始条件是指：当t≤0时，系统的输入和输出及其各阶导数均为零。

传递函数的表达形式

表达形式：设线性定常系统由下述 阶微分方程描述

在零初始条件下, 两边作拉氏变换得

由定义得系统的传递函数为:

此为传递函数的一般表达式。其分母多项式称为系统的特征多项式。

传递函数的时间常数表达式

特点: 的零次幂项的系数为1

为稳态增益, 简称增益

传递函数的零极点表达式

为系统的零点, 为系统的极点。
为增益因子, 若为开环传递函数, 则称为根轨迹增益

传递函数的性质

• 传递函数仅适用于线性定常系统或元件
• 传递函数只与系统或元件本身内部结构参数有关，与输入量、初始条件等外部因素无关
• 常规系统的传递函数分母的阶次大于等于分子的阶次
• 传递函数不能反映系统或元件的物理组成，物理性质截然不同的系统或元件，可以有相同的传递函数
• 传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的传递函数。

传递函数的求取方法

1. 方法一 —— 利用微分方程求传递函数
   1. 列写元件或系统的微分方程
   2. 在零初始条件下对方程进行拉氏变换
   3. 取输出与输入的拉氏变换之比
2. 方法二 —— 利用频率特性法，以实验进行测定
3. 方法三 —— 利用系统的单位脉冲响应求系统的传递函数
   1. 测量系统的单位脉冲响应
   2. 对单位脉冲响应作拉氏变换，即得系统传递函数

典型环节

比例环节

• 特点：输出量与输入量成比例，无失真和时间延迟
• 实例：电子放大器、齿轮、电位计、杠杠机构

惯性环节

T是惯性环节的时间常数

• 特点：含有一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡

理想微分环节

特点：输出量正比于输入量的变化率，能预示输入信号变化的趋势

一阶微分环节

特点： 输出信号中不仅包含与输入信号的变化速度成比例的分量，而且还包含与输入信号成比例的分量

二阶微分环节

特点： 输出信号中不仅包含输入信号的比例和速度的成分，而且包含输入量的加速度成分

积分环节

特点：输出量与输入量的积分成比例，当输入消失后， 其输出端仍保留输入信号消失时的输出，即具有记忆功能

实例：电动机角速度与角度

振荡环节

称为无阻尼自然振荡角频率，称为阻尼比

特点：有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，在一定条件下会出现振荡

纯时间延迟环节

特点：输出量能准确复现输入，但需延迟一个固定的时间

实例：热量传导因传输速率低而造成的时间上的延迟。

控制系统的方块图

控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图示法。

• 方块： 表示输入到输出间单向传输的函数关系。
• 信号线： 带有箭头的直线，表示信号的传递方向。
• 方块图元素
  • 比较点（合成点）： 两个或两个以上的信号进行叠加的环节。 进行叠加的信号必须具有相同的量纲。
  • 分支点： 表示信号测量或引出的位置。 同一位置引出的信号，其性质、大小是相同的。

基本运算法则

• 串联：多个环节串联后总的传递函数等于每个环节传递函数的乘积。
• 并联：多个环节并联后的传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。
• 反馈

单位反馈系统的闭环传递函数为(负反馈加号，正反馈减号)

常用传递函数

为误差信号， 为主反馈信号， 为干扰信号。

前向通路传递函数

断开反馈后，输出C(s)与输入R(s)之比

反馈通路传递函数

断开反馈后，主反馈信号 与输出信号 之比。

开环传递函数：

断开反馈后，主反馈信号 与输入信号 之比。

闭环传递函数

输出信号 与输入信号 之比。

误差传递函数

误差信号 与输入信号 之比。

输出对扰动的传递函数

输出信号 与扰动信号 之比。

误差对扰动的传递函数

误差信号 与扰动信号 之比。

根据线性系统的叠加原理，系统的输出及误差可表示为：

方块图简化法则

简化应遵循的原则：保持信号传递的数学关系不变！

信号流图

信号流图: 一种表示控制系统中各变量间相互关系的图示方法，由一系列表示变量的节点“ ” 和表示信号传输方向的箭线“ ” 连接而成。箭线上的数值是表示信号间传递关系的增益(传递函数)。

在信号流图中，信号传输是单向的！

• 节点: 用于表示变量或信号的点，如方框图中的输入点、输出点、比较点和分支点。
• 输入节点（源节点） : 只有信号流出的节点。
• 输出节点（阱节点） : 只有信号流入的节点。
• 混合节点： 既有信号流出，又有信号流入的节点。
• 支路: 连接两个节点的单向线段，是信号流图的基本元素。
• 通路: 从一个节点出发，沿支路箭头方向，通过一些节点到达某一节点的途径。
• 开通路： 与任一节点仅相遇一次的通路。
• 前向通路: 起始于输入节点，终止于输出节点的开通路。
• 环（回路） : 起始及终止于同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。
• 互不接触环: 两个或两个以上不存在公共节点的环。
• 通路增益: 通路上各支路增益的乘积
• 环增益: 环上各支路增益之乘积。

1. 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路箭头方向流动。
2. 节点把所有进入这个节点的支路信号叠加起来，然后传送给这个节点的所有输出支路。
3. 混合节点可通过增加单位增益的支路变成输出节点，但不能变成输入节点。

重点 梅逊公式

输入节点到输出节点的总增益为

为前向通路数，为第条前向通路的增益。为除去第条前向通路后的值。为系统的特征多项式。

同一系统，不管输入节点和输出节点如何选择，其特征多项式是唯一的。称为系统的特征方程。

的计算式为：

为各个环的增益。

为任意两个互不接触环的增益之积。

为任意个互不接触环的增益之积。

1. 梅逊(Mason)公式只能求输出对输入的增益。
2. 若求混合节点对输入的增益，可先通过增加一条单位增益支路，将该混合节点变成输出节点，然后再利用Mason公式求解。
3. 若求输出对混合节点的增益，可先分别求取输出及该混合节点对输入的增益，然后把它们的结果相除，即可得到输出对该混合节点的增益。

第三张 控制系统的时域分析

典型测试信号

实际系统的输入信号常具有不确定性，而且其形式往往不能以解析式表示。分析和设计控制系统需要有一个进行比较的基准。因此，需要用统一的典型输入信号来测试系统的性能。

典型测试信号要求是简单的时间函数，便于进行数学分析和实验研
究。系统的实际输入信号可以看成是各种测试信号的组合。

如何选取典型测试信号？

• 选取输入信号的典型形式应大致反映系统的实际工作情况。
• 要从系统工作最不利的情况出发来选取典型测试信号。
• 选取的典型测试信号要尽可能简单。

常用的典型测试信号

• 阶跃信号

如果R=1，则称为单位阶跃信号，记为u(t)或1(t)

• 速度信号

若R=1，则称为单位速度信号

• 加速度信号
  

若R=1，则称为单位加速度信号。

• 脉冲信号

h为脉冲宽度，工程上一般要求h<0.1T， T为系统时间常数。A为常值，是信号所包围的面积。当A=1， h→0时，称为理想单位脉冲信号，记为δ(t)。

• 正弦信号

稳定性基本概念

工程上一个控制系统能正常工作的首要条件是它必须是稳定的，对系统进行品质指标的分析也是在系统稳定的前提下进行。

稳定性又分绝对稳定性和相对稳定性。绝对稳定性是指系统是否稳定；相对稳定性是指系统稳定的程度。

系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某一状态，并且维持在此状态不再发生变化时，称这种状态为系统的平衡状态。

稳定性定义

处于平衡状态的系统， 在受到扰动作用后会偏离原来的平衡状态。 若扰动消失后，经过一段时间，系统又回复到原平衡状态，则称系统是稳定的。

若系统围绕原平衡状态作等幅振荡，或在新的位置建立新的平衡，则称系统是临界稳定的。

若系统偏离原平衡状态越来越远，或振荡幅值越来越大，则称系统是不稳定的。

线性系统在初始条件作用下， 如果其输出量最终返回到原平衡状态， 那么系统是稳定的；如果输出量呈现持续不断的等幅振荡过程， 则称其为临界稳定；如果输出量无限制地偏离原平衡状态， 则称系统是不稳定的。

在初始条件为零时，如果线性系统的单位脉冲响应随时间收敛于原平衡工作点，则系统稳定；若发散， 则系统不稳定；若趋于某常数（非原平衡工作点）或者出现等幅振荡，则系统临界稳定。

在初始条件为零时，如果一个系统对任意的有界输入， 其输出是有界的， 则称该系统是有界输入有界输出稳定，即BIBO稳定。

设系统的闭环传递函数为

系统有Q个实极点和R对复极点，假设没有重极点，则
系统的单位脉冲响应为：

若 系统是稳定的。
若 则输出趋于等幅振荡，系统是临界稳定的。
若，则是发散的，因而系统是不稳定的。
若 ，则系统将趋于无界振荡。
若 ，且为单极点，则响应中会出现一个常数项，系统临界稳定。若为重极点，则系统不稳定。
若 ，且为单极点，系统临界稳定。若为重极点，系统不稳定。

线性定常系统渐近稳定的充分必要条件：系统特征方程所有根（系统的特征根）都具有负实部，或系统的所有极点都位于左半s开平面（即不包含虚轴的左半平面）上。

系统特征方程的根是由特征方程的系数决定的，特征方程的系数取决于系统的固有特性（结构和参数），因此系统的稳定性取决于系统的固有特性，而与外部的输入无关。

劳斯稳定判据

劳斯判据是一种避免对特征方程直接求解，而是根据系统特征方程的系数来判别系统稳定性的代数判据。

线性定常系统稳定的必要条件:系统特征方程的全部系数同号， 且无一系数为零。
注意：系统的特征方程中有任一系数与其它系数不同号，系统就不稳定，但是如果特征方程的所有系数都同号，且无一系数为零，
只满足稳定性的必要条件，不能判断系统是否稳定。

注意：

• 在计算中遇到缺项，则用0代替。
• 劳斯表的行数等于方程阶次加1。
• 最后两行每行只有一个元素。

劳斯稳定判据： 系统稳定的充分必要条件是劳斯表首列非零且不改变符号。
如果劳斯表首列中无零，则首列元素符号变化的次数等于系统特征方程的正实部根的数目。

注意：

• 劳斯判据以闭环特征方程判定闭环系统稳定性。
• 劳斯表一行中所有各数都乘以或除以一个正数，不影响系统稳定性的判断。
• 当系统的特征方程为代数方程，并且所有系数都是实数时，劳斯判据才可适用。

劳斯判据的应用

判断稳定性

Case 1: 首列元素皆非零

Case 2: 劳斯表某行第一列的元素等于零，此行其余项不全为零

如果劳斯表中某行第一列元素为零，那么系统必定不稳定。
解法： 以一无穷小的正数ε 代替0，然后继续排劳斯表

Case 3: 劳斯表中某行的所有元素都为零

出现全零的行必定是s的奇次行。
如果劳斯表中某行元素出现全零，那么系统必定不稳定（特殊情况临界稳定）。
劳斯表中有一行元素全为零，说明特征方程存在关于原点对称的根，例如 (s+σ)(s-σ) 或 (s+jω)(sjω) 。
解法： 利用全零行上面一行的元素组成辅助方程，对辅助方程求导，将得到的方程系数代替全零行的元素，然后继续排劳斯表。解辅助方程可以得到对称的根。正根数可以根据劳斯表首列元素变号次数来定。

确定参数取值范围

相对稳定性

在s左半平面内，闭环极点离开虚轴越远，系统的相对稳定性就越好。

劳斯判据扩展到相对稳定性的判别

• Step 1: 移动s平面的虚轴()
• Step 2: 利用劳斯稳定判据
  如果所有特征根均在新虚轴的左边，则系统就有稳定裕量

稳态误差基本概念

衡量系统稳态特性好坏的主要时域指标是稳态误差。稳态误差是反映系统控制精度的一种度量，是衡量稳态响应质量的时域指标。工程上，通常用系统对典型测试信号的稳态响应来表征系统的稳态精度。只有稳定的系统，稳态误差才有意义。

误差的两种定义：定义 1:误差为系统的输入信号与主反馈信号之差。；定义 2:误差为系统输出量的希望值与实际值之差。当主反馈为单位反馈时，这两种定义是统一的。

对于稳定的系统，稳态误差 是 t → ∞ 时 的极限，即

利用终值定理可得系统的稳态误差

终值定理的使用条件：sE(s) 在s右半平面及虚轴上必须解析，除了在坐标原点可以有孤立极点外。例如，当输入r(t)为正弦函数sinωt时，由于其拉氏变换ω/(s2+ω2)在±jω处不解析，故不能用终值定理法求取稳态误差。

系统的稳态误差不仅与系统的结构参数有关，而且与系统的输入有关。因此研究系统的稳态误差，必须研究不同结构类型系统在不同输入作用下的稳态误差。

控制系统的类型

考虑典型开环传递函数

则系统的稳态误差可表示为

决定系统稳态误差的结构参数主要是：系统在原点的开环极点数(v)、系统的开环增益(K)和输入量的特性。将开环传递函数在原点处的极点数v称为系统的类型：

• v=0，称为0型系统
• v=1，称为1型系统
• v=2，称为2型系统

注意：

• 这种类型分类法与系统阶次分类法不同。
• 这种分类是根据开环传递函数而确定的。

稳态误差计算

系统类型	阶跃	速度	加速度
0型
1型
2型

注意：

• 稳态误差只有对稳定系统才有意义。
• 任何系统的有限稳态误差项与其开环增益K有关，K越大，稳态误差就越小。
• 系统的稳态误差取决于系统的结构参数、输入信号的性质和作用点。
• 减小或消除稳态误差的方法有：增加开环放大系数K，提高系统的类型数。
• 计算线性系统对多类信号输入的稳态误差，可利用叠加原理。
• 只有当输入信号是阶跃、斜坡、加速度函数，或是这些函数的线性组合时,稳态误差系数才有意义。
• 对任意其他输入函数的稳态误差的求取，只要系统稳定且满足终值定理的使用条件，就可以利用终值定理直接求取。

动态响应指标

稳定控制系统的时间响应包括暂态分量和稳态分量，系统的动态特性则是以零初始条件下，系统单位阶跃响应的暂态特性来衡量的。
系统对阶跃信号的响应在很大程度上揭示了系统对一般输入信号的动态性能，反映了在输入信号剧烈变化时系统响应的快速性。
单位阶跃函数数学表达简单，便于进行系统响应的比较与分析。

峰值时间tp—响应曲线达到超调的第一个峰值的时间。
延迟时间td—阶跃响应达到终值的50％所需要的时间。
上升时间tr-对于有振荡的系统定义为从0上升到终值的100％所需要的时间。对于无振荡的系统定义为从终值的10％上升到90％所经历的时间。
调整时间ts—响应曲线到达并永远保持与终值之差在预定的误差限δ 内所需要的时间。δ常取2%或5%
最大超调量Mp—暂态期间输出超出终值c(∞)的最大差值的百分数。

一阶系统的动态响应

基本不考察，略

二阶系统的动态响应

闭环传递函数为：

阻尼比

二阶系统的动态响应指标 (0<ζ<1)

峰值时间
最大超调量
误差限δ=5%时，调整时间 误差限δ=2%时，调整时间

例题

高阶系统的动态响应

不做要求，略

第四章 根轨迹法

根轨迹的基本概念

Evans提出的根轨迹法就是研究随系统参数变化，闭环系统特征根在s平面上位置变化的规律。具体地说，根轨迹法是根据开环系统零、极点在s平面上的分布，用图解的方法求出在系统某一个参数变化时，闭环系统特征根在s平面上变化的轨迹。

考虑闭环控制系统

其闭环特征方程为：

将开环传递函数写成零极点形式：

称为根轨迹增益

令

则特征方程可改写成：

或根轨迹方程

根轨迹方程就是闭环系统的特征方程，换句话说，满足根轨迹方程的s就是闭环系统的特征根或闭环系统的极点。
Kr由小到大变化时，闭环系统特征根的轨迹，就是根轨迹。
当 时，闭环系统特征根的轨迹称为常规根轨迹，简称根轨迹; 当 时，闭环系统特征根的轨迹称为补根轨迹或余根轨迹；当 时，闭环系统特征根的轨迹称为完全根轨迹简称全根轨迹。

本课程只讨论常规根轨迹。

如果关心的是其它参数a，则要将特征方程化为 的形式，然后参照根轨迹方法绘制其轨迹。

例题

由根轨迹方程可得幅值条件和相角条件

根轨迹法是利用开环零点、极点在s平面上的分布，通过图解的方法求取闭环极点的位置。凡是根轨迹上的点必定满足幅值条件和相角条件。满足相角条件的点必定在根轨迹或补根轨迹上

绘制根轨迹的基本规则

1. Rule 1: 根轨迹的分支数＝max{m,n}， m和n分别为系统开环传递函数分子和分母的阶次。一般情况下n≥m。 若绘制其它参数变化时的根轨迹，其等效开环传递函数可能会出现n<m的情况。根轨迹的分支数等于特征方程的根的个数，也就是特征方程的阶次max{m,n}
2. Rule 2: 根轨迹对称于s平面的实轴。由于特征方程的根或为实数，或为共轭复数，因此根轨迹必然对称于实轴。
3. Rule 3: 根轨迹起始于开环传递函数的极点。当n>=m时，起点都是开环传递函数的有限值极点；当n<m时，有(m-n) 个起点位于无穷远处，其余n个起点在开环传递函数的有限值极点处
4. Rule 4: 根轨迹终止于开环传递函数G(s)H(s)的零点。当m>=n时，终点都在G(s)H(s)的有限值零点处；当m<n时， 有m个终点在G(s)H(s)的有限值零点处，其余(n-m)个终点在无穷远处。
5. Rule 5: 实轴上根轨迹右边的开环实极点与实零点的个数和为奇数。
6. Rule 6: 如果根轨迹趋于无穷远，则必沿着一组渐近线趋向于无穷远。根轨迹渐近线与实轴的夹角为 渐近线与实轴的交点坐标为：
7. 根轨迹在开环复极点与开环复零点处的出射角和入射角。根轨迹的出射角：。根轨迹的入射角：。 和 分别是其它极点和零点到出射（入射）极（零）点的向量相角。
8. Rule 8: 根轨迹与虚轴的交点和交点处的 值利用劳斯判据确定。用jω替代特征方程中s,令方程中的实部和虚部分别为零， 形成方程组。 然后求解此方程组，可得全根轨迹与虚轴相交时的ω和Kr
9. Rule 9: 根轨迹在实轴上的分离点（会合点）。规则：根轨迹的分支进入和离开分离点的角度为 或 为分离点的重根数。根轨迹上的分离点必须满足 或 需要指出，上述条件是分离点或会合点存在的必要条件，极值点处不一定存在实际的分离点或会合点。只有当相应的Kr是正实数时，该点才是实际的分离点或会合点。如果实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则相邻开环极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点之间有根轨迹，则这两相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可以既有分离点也有会合点。由于根轨迹的对称性，复分离点必共轭出现。因为分离点为特征方程的重根点，所以三阶及低于三阶的系统不可能具有复分离点。
10. 根轨迹上Kr值的确定
11. Rule 11: 若n-m>=2,系统所有闭环特征根之和等于常数，即等于开环极点之和；对n>=m的系统，所有闭环特征根之积乘以等于闭环特征方程常数项

根轨迹的绘制及稳定性分析

例题








由根轨迹可知：根轨迹与虚轴交点处的根轨迹增益为568.89，当0<K<568.89时，系统稳定；当K=568.89时，有两个根位于虚轴上，系统临界稳定；当K>568.89时，有两个根位于s右半平面，系统不稳定。

开环零极点的变化对根轨迹的影响

一般结论：给开环传递函数G(s)H(s)增加极点的作用是使根轨迹向右半s平面推移，使系统稳定性变差

一般结论：对开环传递函数G(s)H(s)增加零点的作用是使根轨迹向左半s平面移动，使系统稳定性变好。

一般结论：极点向虚轴方向移动，根轨迹进一步向右半s平面推移，使系统稳定性变差。

极点s=-a右移对根轨迹有何影响？

一般结论：零点向虚轴方向移动，根轨迹进一步向左半s平面移动，使系统稳定性变好。
零点s=-b右移对根轨迹有何影响？

第五章 频率响应法

频率特性

线性定常系统的传递函数为：

式中和是的多项式。 是系统的极点，假设互不相同。

设输入，它的拉氏变换为：

则输出为：

由拉氏反变换可得系统的输出响应：

如果系统稳定，则当t→∞时，系统的稳态正弦响应为：

稳定的线性定常系统对正弦输入信号Asinωt的稳态输出响应与输入是同频率的正弦信号，其幅值为A|G(jω)|，并与输入信号有一个相位移φ(ω)

定义正弦输入信号作用下，系统稳态输出响应与输入信号的幅值之比|G(jω)|为幅频特性，相位之差φ(ω)=∠G(jω)为相频特性，并称G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)为系统的频率特性。

将系统传递函数中的s代之以jω便得系统的频率特性。频率特性G(jω)是复变函数，它可以用幅值|G(jω)|和相角∠G(jω)表示，即或者表示为直角坐标形式

G(jω)是角频率ω的函数，当ω变化时，向量G(jω)的端点轨迹是复平面上的一条曲线，因此，频率特性可以用频率特性图来表示

常用的频率特性图有以下三种：

• 极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图，简称奈氏图
• 对数频率特性图，也称伯德(Bode)图
• 对数幅相特性图，也称尼科尔斯(Nichols)图

频率特性的性质：

• 频率特性是系统的一种数学模型，它描述了系统的特性，与外界因素无关。当系统结构参数确定之后，系统的频率特性也随之确定。
• 稳定系统的频率特性刻画了系统对正弦输入的稳态响应，系统的稳态输出量与输入量是具有相同频率的正弦信号。 |G(jω)|和φ(ω)都是ω的函数。
• 大部分系统输出的幅值随频率的升高而衰减，所以，它是一个低通滤波器。

极坐标图

频率特性的极坐标图又称奈奎斯特(Nyquist)图，简称奈氏图，它是当ω变化时，向量G(jω)端点在复平面上的轨迹，所以也叫G(jω)的奈氏曲线

不做考察，仅了解即可。

对数频率特性图

奈氏图在系统分析中是有一定价值的，但当要在已知系统中附加零、极点时，由于要进行复数的乘法运算，计算比较繁琐，这就限制了奈氏曲线在系统设计中的应用。对数频率特性图（伯德图）将乘法运算变成加法运算，从而大大简化了频率特性的计算，成为控制系统设计的有效工具，而得到广泛的应用。

对数频率特性图由对数幅频特性和对数相频特性两张图构成，都画在半对数纸上。横坐标都是角频率ω，单位为rad/s，但以lgω进行分度，纵坐标分别取L(ω)(单位为分贝dB)及φ(ω)(单位为度)

对数频率特性的优点

• 对数幅频特性把因子的乘和除转变成对数坐标上的加与减，便于系统增加或去除一些环节后幅频
  特性曲线的修正。
• 对数幅频特性曲线可用折线近似，便于绘制。
• 由于横坐标采用了ω的对数分度，使得从低频到高频的很宽频段内都能在较短长度上清楚地表达出来，这对系统分析和设计是很有利的

对数频率特性绘制方法

系统的对数幅频特性是系统中各基本因子对数幅频特性的叠加。
相频特性曲线是所有基本因子相频特性曲线的叠加，也可以根据其表达式计算、描点而得。

常用相频特性曲线

增益因子K

积分因子

微分因子

一次因子（惯性环节）

一次因子（一阶微分环节）

二次振荡因子

例题

采用上述叠加的方法绘制对数幅频特性还是比较麻烦的。事实上，对数幅频特性的绘制是有一定规律可循的，可以从低频到高频，将L(ω)整条曲线一次画出。

对数幅频特性曲线的绘制

1. 将传递函数化为时间常数型标准形式
2. 计算20lgK
3. 求出一次因子及二次因子的转折角频率，并将它们标在ω轴上。
4. 经过L(ω)=20lgK与ω=1的交点,作斜率为 -20v dB/dec 的直线，这是在没有转折频率之前低频段的频率特性
5. 从最低频到最高频检查，若遇到的转折频率在分子上对应为一阶环节，则直线斜率增加20dB/dec，二阶环节则直线斜率增加40dB/dec；在分母上则分别变化-20dB/dec和-40dB/dec。
6. 如果转折频率处对应的是二阶环节，且阻尼比ζ<0.4或ζ>0.707，则需要对近似折线在ωn或ωr附近进行修正

例题

最小相位系统

最小相位系统：若系统的开环传递函数没有位于s右半开平面的零点和极点，且没有纯时间延迟环节，则称为最小相位系统，反之为非最小相位系统

最小相位系统特征：

1. 对于开环极点都在左半s平面的系统，在n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次
2. 当ω→∞时，其相角等于-90°× (n-m)，对数幅频特性曲线的斜率为–20× (n–m) dB/dec。 有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。
3. 对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。 对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。

增益剪切频率
相位剪切频率

奈氏稳定判据

线性定常系统稳定性判据， 在时域中有劳斯判据， 判别闭环系统的特征根是否具有负实部。 在复域中， 则是根据开环传递函数绘制根轨迹， 判定闭环系统的所有极点是否均在左半s开平面上。 频域中的稳定性判据(奈氏判据)是利用系统的开环频率特性来判别闭环系统的稳定性

不做考察，仅了解即可。

Bode图上的奈氏判据

实际上，对于开环是最小相位的系统，其稳定的充分必要条件是：在增益剪切频率ωc处的相角φ(ωc)大于-180°

不做考察，仅了解即可。

基于对数频率特性的性能分析

不做考察，掌握相位裕量即可。

对于最小相位系统:

• 当γ>0时，系统稳定
• 当γ<0时，系统不稳定
• 当γ=0时，系统临界稳定

相位裕量的物理意义为了保持系统稳定，系统开环频率特性在ω=ωc点所允许增加的最大相位滞后量。

结论： 一般而言，对于最小相位系统， 当L(ω)在ωc处的斜率为-20dB/dec时，系统是稳定的； 为-40dB/dec时，系统可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量也是较小的； 为-60dB/dec时，系统则肯定是不稳定的。

闭环频率特性

闭环频率特性品质指标

谐振峰值Mr：M(ω)的最大值。 Mr一般给出了系统的相对稳定性，它往往与系统阶跃响应的最大超调量Mp相对应。 Mr越大，最大超调量也越大。对大多数控制系统， Mr应取在1.1到1.5之间
谐振频率ωr：产生谐振峰值处的频率值
带宽ωb： 在M(ω)下降至零频率时的幅值M(0)值的70.7%或-3dB处的频率值。带宽越宽，系统阶跃响应的上升速度越快，但是系统对高频噪声的滤波能力越差
剪切率： 指M(ω)在ωb处的斜率。它反映了系统的抗高频干扰能力。一系统在ωb处的M(ω)越陡，抗高频干扰能力越强

二阶系统的Mr、 ωr和ωb

二阶系统的闭环传递函数为：

谐振峰值必定发生在M(ω)的极值处，即： ，可得谐振频率 和谐振峰值 根据带宽的定义，由M(ω)=0.707可得：

频率特性测试和传递函数求取

1. 对系统开环施加不同角频率的正弦信号，测量输入端与主反馈环节输出端的幅值及相移。
2. 以实验数据绘制系统开环对数幅频曲线及相频曲线
3. 用折线近似实验所得的对数幅频曲线。折线的斜率必须是±20dB/dec的倍数
4. 由低频段决定系统类型及静态增益
5. 假设为最小相位系统，求出各零、极点的转折频率。如果对数幅频特性曲线在某一转折频率的斜率增加了-20dB/dec，则为一惯性环节；如果斜率增加20dB/dec，则为一阶微分环节；如斜率增加-40dB/dec，则为一振荡环节，它的阻尼比及自然振荡频率由谐振频率和谐振峰值求得。
6. 判断系统是否最小相位系统。对数幅频特性曲线高频末端的斜率应是-20(n-m)dB/dec,由此求出(n-m)。如实验相位曲线在高频末端的相位量为-(n-m)90◦ ，系统则为最小相位系统，否则，便为非最小相位系统。
7. 决定非最小相位系统的传递函数。如果高频末端实验得到的相角比计算所得小180◦ ，那么传递函数中就有一个零点位于右半s开平面。如果利用最小相位系统传递函数计算出的相位滞后与实验所得的相位滞后相差一个恒定的变化率，在ω→∞时， φ(ω)也趋于无穷大。则传递函数中含有一个延时环节。由任一ω值的φ(ω) ，可求出延迟时间。

假设系统是最小相位系统，且已知其对数幅频特性曲线，研究如何求出其传递函数。下面举例说明。

第六章 控制系统设计

仅考察串联相位超前校正，其他部分不赘述。

串联校正装置是串接在系统前向通道中的校正装置。按其功能可分为：相位超前校正、相位滞后校正、相位超前滞后校正、 T型网络校正

品质指标

• 静态品质指标
  • 相对精确度。例如：输入为5rad/s的速度函数时，要求最终输出的误差不大于0.1rad。
  • 误差系数Kp,Kv,Ka。在系统设计时，往往需要把上面的相对精确度提法转换为误差系数Kp,Kv,Ka。如上面的提法相当于Kv=50
• 动态品质指标
  • 时域指标：超调量Mp、调整时间ts、峰值时间tp、上升时间tr、阻尼比ζ、自然振荡频率ωn。
  • 频域指标
    • ① 开环:增益剪切频率ωc、相位裕量γ、增益裕量Kg。
    • ② 闭环:谐振峰值Mr、谐振频率ωr、截止频率ωb。

控制系统设计中，采用的设计方法一般依据性能指标的形式而定。如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调整时间、超调量、阻尼比等时域特征量给出时，一般采用时域法校正；如果性能指标以系统的相位裕度、增益裕度、谐振峰值、闭环带宽等频域特征量给出时，一般采用频域法校正。目前，工程技术界多习惯采用频域法，故通常需要进行两种指标的互换。

二阶系统频域指标与时域指标的关系

高阶系统频域指标与时域指标的关系

相位超前校正

校正网络传递函数

利用伯德图设计相位超前校正的步骤

1. 求出满足静态品质指标的开环增益K值
2. 根据求得的K值，绘制伯德图，并找出未校正系统的增益剪切频率ωc1 、相位裕度γ1
3. 求出为了满足相位裕度，超前网络必须提供的相位超前量
4. 求出a值
5. 决定校正后系统的增益剪切频率ωc2 。 ωc2应选在未校正系统的 L(ω) =-10lga处。为了最大限度利用超前网络的相位超前量， ωc2应与ωm相重合。
6. 由ωm= ωc2 及 ，可求得T值
7. 若采用上述的RC超前校正网络，需要在系统中把原放大器增益增大a倍，或插入一个增益等于a的放大器。
8. 绘制校正后系统的伯德图，并校验品质指标。如指标不满足，则应加大安全裕度，重复步骤3以后的步骤，直到满足要求为止。

例题