电路理论

教材：《电路基础（第二版）》高等教育出版社
参考资料：《电路（第十版）》电子工业出版社；《Electric Circuits 10th Ed》 (James W. Nilsson, Susan A. Riedel) ；《电路基础教学指导书》高等教育出版社；《电路基础试题集解与考研指南》高等教育出版社
参考PPT：周云教授授课所使用的PPT，侵删。
特别感谢：上海交通大学学科营对教材进行的解析补充与勘误。
特别感谢 Teruteru 的学习笔记。

电路课程的内涵

电(Eectricity)是一种能量的自然界存在形式。技术发展到今天，每一项便捷服务都离不开电。电的两种基本形式：能量形式和信号形式。

电路(Electric circuit)是由电气器件互连而成的电的通路。在实际电路中，由电阻器、电容器、电感器、晶体管、运算放大器等器件(Device) 组成电路。集成电路 (Integrated circuit) 是将诸多器件、部件制作在一个硅片上，实现电气互联而构成一个整体。

（工程实际）任何实际电路的运行都非常复杂。可能伴随着电磁效应、热效应、机械效应、化学效应等。
（科学方法）模型（Model）是任何客观事物的理想化表示，是对客观事物的主要性能和变化规律的一种科学地抽象。
电路理论（Circuittheory）为了研究电路的电气性能，将组成实际电路的电气器件在一定条件下按其主要的电磁性质加以理想化，为器件建模，定义严格的数学关系，以定量化的电路模型分析，为判断实际电路电气性能和电路设计提供重要依据。

课程的学习意义

1. 科学层面：对电路元件、电路模型. 基本定理. 分析方法、变换应用等系统掌握
2. 应用层面：了解理论分析与工程应用的联系，形成工程观念，数学分析方法的应用，探寻分析问题和解决问题的钥匙，培养实践动手能力、应用设计能力和现代化工具使用能力。
3. 个人层面：知识掌握. 方法获取、能力评价、后续课程积累

在电气电子信息技术领域内，信号、电路和系统是三个相互联系又有区别的基本成分。信号是传递信息的工具，电路是对信号进行加工、处理的具体结构；能量变换、传输的具体结构，系统是信号通过的全部电路和设备的总和。
两种不同的分析研究方法：电磁场理论的方法和电路理论的方法。

基本内容概括

第一章 基本概念和基本规律

电路和电路模型

模型元件（电路元件）是实际器件的理想化，反映实际电气器件的主要电磁性能。

电路模型是用这些模型元件按一定规则的组合，使之具有实际装置的主要电磁性能,而根据电路模型得出的数学关系又能反映实际器件和装置的基本物理规律。

电气装置用电路模型近似表示是有条件的，一种近似表示只有在一定的条件下适用，条件变了，电路模型也要作相应的改变

例如：实验室中做实验用的铜导线绕制的电阻器来说，在低频率时，主要表现为电阻特性。在高频率时，还表现有电抗特性的一面，此时可用理想化电路元件——电阻、电感、电容的组合实现较好的逼近。

我们课程将仅对电路模型进行分析和计算。

集中（集总）参数

★电路理论和电磁场理论差异在哪?

若电源的频率 $f$ 不高，电路元件及电路的各向最大尺寸 $l$ 远小于电源最高频率 $f$ 的波长 $\lambda$ 时，电磁场的变化传布整个电路所需的时间 $\tau = \frac{l}{c}$、远小于一个周期 T ，在此短暂的时间里，电流、电荷和电磁场的分布都未来得及发生显著变化，电路参数的分布性对电路性能的影响并不明显，分布参数的影响可以集中起来表示。
电阻、电容、电感都集中到一点，能量损耗、电场储能、磁场储能过程也分别集中在电阻. 电容、电感等元件中进行。
通常称这些电阻、电容、电感元件为集中参数元件，由集中参数元件组成的电路为集中（总）参数电路。
集中参数电路中的电压、电流为时间的函数%4明 电路可用常微分方程来描述。
我们的课程将只讨论集中参数电路。

信号频率继续升高，分布参数将上升到主导地位。信号频率到微波波段（称超高频或射频），$f > 10^{10} Hz$, $1mm≤X≤10cm$
在这种情况下，电路概念完全被破坏，只能用电磁场理论分析各
种现象。如天线，它的下端有电流，顶端电流为零。

电路变量

电路变量

电路中能量交换情况，往往无法直接测量得到，如电阻器上消耗了多少电能，电容器、电感器中分别储存了多少电场能和磁场能，然而，可以用间接的方法测得电阻器、电容器、电感器两端的电压及流过它们的电流，再进行能量方面的计算。

在电路理论中，为了定量地描述电路的状态或元件特性，一般选用电流 $i$ 和电压 $u$ 作为基本变量。

电流：$i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ 即单位时间内通过导体横截面的电量。电压：$ u = \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}q}$ 即单位正电荷由一点转移到另一点获得或失去的能量。直流时 $I$ $U$ 为常数，交流时 $i$ $u$ 不为参数。一般直流变量用大写字母，交流变量用小写字母。

除电流 $i$ 和电压 $u$ 外，电荷 $q$ 和磁通 $\phi$ 也可作为一对基本变量，在分析时变电路或非线性电路时，优点尤为突出。

参考方向

电流的参考方向可任意给定，并在电路图上用箭头表示。电流的参考方向一经选定，就不再任意改变。经过计算，电流值为正，说明电流的参考方向与真实方向一致；电流值为负，说明参考方向与真实方向相反。

电压的参考极性也任意选定，经计算，电压值为正，说明参考极性与真实极性一致，否则相反。

电流和电压的参考方向，也可用双脚标表示，如:$i_{ba}$，$u_{ba}$

★电压、电流参考方向均可自由设定，4种组合,实际使用中带来困难，如何解决？

一致参考方向：电流从标有 + 号的端点流入，从 - 号端流出元件。一致参考方向也称关联参考方向。在一致参考方向下：
$p(t)=u(t)i(t)>0$ 吸收功率 $p(t)=u(t)i(t)<0$ 发出功率

功率和能量

当任意一个二端电路元件的电压和电流取一致的参考方向时，其所吸收 (即外界输入) 的功率为
$$p(t)=u(t)i(t)$$

功率的国际制单位为瓦［特］（W）。功率是做功能力的体现，使用才消耗能量。

电阻器吸收的瞬时功率和无源性、有源性问题。二端电阻器吸收的瞬时功率 $p(t)=u(t)i(t)$
电阻器在 $i-u$ 平面伏安特性曲线上的电压-电流 $[i(t),u(t)]$称为工作点。
在时间 $t$ 的瞬时功率为工作点和两个坐标所形成的矩形面积。

电阻器从时间 $t_0$ 到时间 $t$ 吸收的能量为
$$W(t_0,t)=\int_{t_0}^tu(t^{\prime})i(t^{\prime})dt^{\prime}$$

工作点在第1和第3象限内，$p(t) \geq 0$ ，从外界吸收功率 $ W(t)\geq 0$ ，是无源电阻器。
工作点在第2和第4象限内，$p(t) \leq 0$ ，从外界吸收功率 $ W(t)\leq 0$ ，是有源电阻器。

电路基本规律

图论的基础知识与基本结论

图论是数学领域中一个十分重要的分支，这里所涉及的只是图论在网络中的应用，称网络图论。网络图论也称网络拓扑。
为在计算机上系统地列出一个 复杂网络的方程以便分析，就要用到网络图论和线性代数的一些概念。

1736年欧拉解决了有名的难题，肯尼希堡城七桥问题。该镇的普雷格尔河中有两个小岛，共有七座桥与两岸彼此连通，问题:从陆地或岛上任一地方开始，能否通过每座桥一次且仅仅一次就能回到原地。
欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必要、充分条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数为奇数）的数目为 显然下图不满足此条件,因此，七桥问题的答案是否定的。

图论中，把一些事物及其之间的联系用点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图就是一些点与线段的集合。

在网络图中，将支路用线段表示，支路间的连接用点表示。

下图网络的网络图中包含有两个独立部
分。虽然网络中存在互感，但在网络图中并
不反映出磁耦合例 因为例属于网络中支路
的特性，而不属于网络图的性质。

一个网络图可以有多个独立部分。

下面两个图，上面的图中包含有一个单独节点，下面的图中有一条支路的两端终止在同一个节点上，称“自环”。这些情况都属于图，但对“自环”图，本课程不做讨论。

• 网络图：一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端终止在两
  个节点上（排除了“自环”情况）
• 有向图:若图中的一组支路都标有方向，则这样的图称有向图。
• 子图:存在网络图G, 若G1中的每个节点和每条支路就是G中的节点和支路，则G1是G的子图。也即若存在图G, 则可从G中删去某些支路或某些节点，得到子图G1。
• 连通图与非连通图：当图G的任意两个节点之间至少存在着一条由支路构成的通路，这样的图就称连通图，如左上图，否则就是非连通图。一个连通图也可以说成是一个独立部分，一个非连通图至少有两个独立部分，而每个独立部分又是一个连通的子图。
• 回路:回路是一条闭合的路经。确切地说，有图G存在一个子图G1，且G1是连通的，G1中与每个节点关联的支路数恰好是2
• 树:一个连通图G的一个子图，如果满足下列条件就称为G的一棵树:（1）连通的（2）没有回路（3）包括G的全部节点。构成树的支路称树支，其余的支路称连支。下图中1、2、3号支路与所有节点构成树T, 4、5、6号支路为连支。左图中2、4、6号支路与全部节点构成树T, 1、3、5号支路为连支。树枝数 $b_t=n-1$ 连枝数 $b_l=b-(n-1)$
• 割集:割集是一组不包括节点的支路集合。有一连通图G, 存在一组支路集合，如果留下任一支路不取掉，则剩下的图仍然是连通的，换言之，割集是一极小支路集。

图论的基础知识

• 支路：电路中的每一个二端元件都可抽象为一条线段（直线或曲线），称为支路，数量记为 $b$
• 节点：电路中元件的连接点
• 图：一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端必须终止在两个节点上。网络图通常用符号 $G$ 表示。
• 连通图：在图 G 中的任意两节点之间至少存在一条由支路构成的路径，则称该图为连通图，否则为非连通图。
• 有向图和无向图：图中的每一条支路都标有参考方向的图称为有向图，否则称为无向图。
• 子图：设有一图 G，又有一图 Gi 其每个节点都是 G 中的节点，每条支路是 G 中的支路，则称 Gi 是 G 的子图。
• 回路：给定图 G 的一个子图 Gi，如果 Gi 是连通的，且其每一个节点仅与两条支路相关联，则称这个子图 Gi 为回路。
  • 性质：
  • 是连通图
  • 与每个节点关联的支路数恰好是 2 条
• 树：对于任意一个连通图 G ，如果它的子图 Gi 满足
  • 是连通图
  • 包含图中的所有节点
  • 不包含回路则称子图 Gi 为 G 的一个树。
• 树支：构成树的各支路称为树支，数量记为 $b_t$
• 连支：除树枝外的支路称为连支，数量记为 $b_l$
• 余树（补树）：连支的集合
• 平面图与非平面图：设一图 G，如果将其画在平面上，且不出现两条支路交叉于一个非节点处，那么称图 G 为平面图，否则称为非平面图。
• 网孔：对于平面图 G 的任一回路，如果在回路所限定的区域内没有支路，则称该回路为网孔。
• 内网孔：构成的回路内部都不存在支路的回路称为内网孔，简称网孔
• 外网孔：构成的回路内部存在支路，但其外部区域不包含支路的回路称为外网孔
• 割集：连通图 G 的割集是一组不包括节点的支路集合，其满足
  • 若移去该集的所有支路，则 G 成为两个独立的部分
  • 若保留其中任一支路不去掉，剩下的图仍是连通的
• 基本回路（独立回路）：在选定树之后，如果每次只接上一条连支，就可以形成由一条连支和其他有关树支组成的回路，该回路称为基本回路。一般基本回路的绕行方向与这个连支的参考方向保持一致。
• 基本割集：对于任意连通图 G ，选定一个树，每条树支总能和若干条连支构成一个割集，将这种仅包含一条树支的割集称为基本割集。

基本割集补充理解：假设有一个连通图，其生成树已经确定。选择生成树中的一条树枝，那么所有与这条树枝相连的连枝（即不在生成树中的边）就构成了一个基本割集。移除这个基本割集中的所有边后，图会被分成两个部分：一部分包含这条树枝所在的生成树，另一部分包含与该树枝相连的连枝

基本回路数（独立回路数）$l$	$l=b-n+1$
树支数 $b_{\mathrm{t}}$	$b=b_{\mathrm{t}}+b_{\mathrm{l}}$
连支数 $b_{\mathrm{l}}$	$b_{\mathrm{l}}=l$
基本割集数 $n_{\mathrm{t}}$	$n_{\mathrm{t}}=n-1$
（内）网孔数	$b-n+1$

基尔霍夫定律

基尔霍夫定律概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律,
是用以分析和计算电路的基本依据。
KCL适用于电路中的任一“节点”，
KVL适用于电路中的任一“回路”

1、有关术语

(1)支路:二端元件
(2)节点：元件的端点
(3)回路：电路中任一闭合路经
(4)网孔：内部不含组成回路以外支路的回路 窗格
(5)网络:含元件较多的电路 b>50

网孔的概念仅适用于平面电路。平面电路是指支路间。没有交叉点的电路。右图为非平面电路。

基尔霍夫电流定律

（基尔霍夫第一定律）KCL：
对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。
$$
\sum_{k=1}^{n}i_k(t) = 0
$$
KCL反映了电路中会合到任一节点的各电流间相互约束关系。注意 $i_k$ 是代数形式。

根据KCL写出的电路方程称为KCL方程。KCL的实质是电流连续性原理在集中参数电路中的表现。所谓电流连续性:在任何一个无限小的时间间隔里，流入节点和流出节点的电流必然是相等的，或在节点上不可能有电荷的积累，即每个节点上电荷守恒。
KCL的重要性和普遍性还体现在该定律与电路中元件的性质无关，即不管电路中的元件是 受控源、电源，也不管这些元件是线性、时变、非时变、…
KCL的也适用于广义节点，即适合于一个闭合面。右图所示电路，根据KCL设流入节点的电流为负，则$-i_1-i_2-i_3=0$

基尔霍夫电压定律

对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿该回路的所有支路电压的代数和等于零。

$$\sum_{k=1}^nu_k(t)=0$$

KVL反映了回路中各支路电压间的相互约束关系。应用KVL时，应指定回路的绕行方向（可任意选取，可取顺时针方向，也可取逆时针方向）。当支路电压的参考方向与回路绕行方向一致时，该支路电压取正号，反之取负号。

支路电压的参考方向：电压降方向，一致参考方向里的电流方向。
KVL实质上是能量守恒定律在集中参数电路中的反映。单位正电荷在电场作用下，由任一点出发，沿任意路经绕行一周又回到原出发点，它获得的能量（即电位升）必然等于在同一过程中所失去的能量（即电位降）。

KVL的重要性和普遍性也体现在该定律与回路中元件的性质无关。
KCL、KVL只对电路中各元件相互连接时，提出了结构约束条件。因此，对电路只要画出线图即可得方程

关联矩阵和KCL、KVL的矩阵形式

1. KCL的矩阵形式（系统分析方法）

就每条支路而言，电流总是从一个节点流入，从另一个节点流出，所以关联矩阵的每一列总有两个非零元素，一个是正1, 一个是负1。因此，把4的全部行加起来将得到一行全为零，就是说，4的所有行不是线性独立的。
就电路方程组而言，只要把四个方程任意划去一个，剩下的三个方程就是线性无关的。因此，就人而言，只要划去任一行，所得矩阵就是线性独立的。

对几个节点，b条支路的拓扑图而言，可得 $n \times b$ 阶关联矩阵$A_a$，$A_A$的秩为$n-1$在关联矩阵4中，任意划去一行，得矩阵 $A$ 其秩仍为加1，$A$ 称为降阶关联矩阵。
对电网络来说，总是把与参考节点对应的行划去，同样可得矩阵方程 ：$AI_b=0$

已知一网络图，可以求得 $A_a$ 或$A$。同样，如果知道了$A_a$或$A$,也一定可得网络图。如果已知降阶关联矩阵A, 则先根据Aa中每列有两个非零元素,且一个为1, 另一个为-1的性质，求得人正 再求有向图。

2. KVL的矩阵形式（系统分析方法）

矩阵名称	降阶关联矩阵 $\boldsymbol{A}$	降阶网孔矩阵 M
基尔霍夫定律	$ \boldsymbol{A} i_{\mathrm{b}}=0 (\mathbf{K C L}) $ $ \boldsymbol{u}_b=\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{u}_n(\mathbf{K V L})$	$ \boldsymbol{i}_b=\boldsymbol{M}^{\boldsymbol{\top}} $ $ \boldsymbol{i}_m (\mathbf{K C L}) $ $ M u_b=0 (\mathbf{K V L}) $
矩阵名称	基本回路矩阵 $\boldsymbol{B}$	基本割集矩阵 $\boldsymbol{Q}$
基尔霍夫定律	$\boldsymbol{i}_b=\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{i}_l (\mathbf{K C L})\ Bu_b=0 (\mathbf{KVL})$	$\boldsymbol{Q}_{\mathrm{b}}=0 (\mathbf{K C L}) \ \boldsymbol{u}_b=\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{u}_t (\mathbf{K V L})$

特勒根定理

特勒根定理是电路中最普遍的定理，它的不寻常之处在于，特勒根定理的导出只依据基尔霍夫定律。即特勒根定理适用于许多电路网络，只要该网络满足总电流守恒(基尔霍夫电流定律(KCL))且所有闭合回路电压代数和为零(基尔霍夫电压定律(KVL))。因此，不论元件的性质如何，激励的种类如何，特勒根定理总是成立的。
特勒根定理是特勒根于1952年正式提出的。特勒根定理是可以应用于非线性电路、时变电路的少数几个定理中的一个。

1. 特勒根定理1
   对于具有 n 个节点，b 条支路的电路，假定支路电压、电流取一致参考方向，电路中的支路电压向量即 $u_b=(u_1,u_2, … ,u_b)^{\top}$ 支路电流向量$i_b=(i_1,i_2, … ,i_b)^{\top}$分别满足KVL和KCL, 则 $$u_b^{\top}i_b = 0$$

2. 特勒根定理2

对于具有 $n$ 个节点和 $b$ 条支路的两个集中参数电路 $N$和 $\hat{N}$ 它们可以由不同的元件构成，但却有相同的有向图。若二者的支路电压向量和支路电
流向量分别用 $u_b = [u_1,u_2,…u_b]^{\top}$ $i_b = [i_1,i_2,…i_b]^{\top}$表示，支路电压、电流取一致参考方向，则有

$$
u_b^{\top}\hat{i_b} = 0 \quad \hat{u_b}^{\top}i_b = 0
$$

特勒根定理的应用并不要求同一时刻的值。

特勒根定理1可理解为各支路吸收的瞬时功率之和为0,即功率守恒；
特勒根定理2适用于结构相同的不同网络，再进一步，特勒根定理1和2都是与时间无关的，尽管定理的表达式中依旧是功率的量纲，但是此时，特勒根定理表达的并非真实的功率守恒，仅可以说表达的是一种数学关系，故称似功率守恒定律。

例题：

电阻电路元件

电阻元件

本节所讨论的电路元件都是理想化的二端元件，电路元件的参数反映了不同基本变量之间的相互关系，而且只决定于元件的性质，反映电路元件上电压与电流之间关系的数学表示式，称为元件的约束方程。

定义:一个两端元件在任一瞬间 t 的电压 U 和电流 i 之间的关系能由 $u-i$ 平面（或 $i-u$ 平面）上的伏安特性曲线所决定，称此二端元件为电阻元件。

1. 线性非时变电阻元件
   定义:伏安特性曲线是与时间变化无关的过原点的直线。电阻元件的电阻值R（曲线的斜率）是常数，单位欧姆，符号$\Omega$ 电导$G$的国际单位是西门子，符号 $S$ 。n
   $$u(t)=Ri(t) \ i(t)=Gu(t)$$
   线性非时变电阻元件电压-电流关系是线性函数关系
   $$u=f(i)\quad f(\alpha i_1+\beta i_2)=\alpha f(i_1)+\beta f(i_2) \ i=g(u)\quad g(\alpha u_1+\beta u_2)=\alpha g(u_1)+\beta g(u_2)$$
   齐次性和可加性称线性元件判据。
   凡线性元件、线性电路，与之相对应的电路变量间的关系，都是线性函数关系。凡线性元件、线性电路，与之相对应的电路变量间的关系，都是线性函数关系。
   伏安曲线对原点为对称，称具有双向性（实际意义:双向性电阻元件在使用时不必区别二端钮的极性，可随意接入电路）。开路和短路是线性非时变电阻元件的特殊情况。
2. 线性时变电阻元件
   伏安特性曲线是随时间变化的过原点的直线。若有正弦信号，对线性非时变电阻而言，输入和输出是同频率的正弦量，对线性时变电阻而言，其输出中包含有输入信号的频率（原频率），还包含有新的频率（电阻元件时变频率与输入频率的和、差频率），这种性质在通讯系统中称为“调制”。
3. 非线性电阻元件
   定义:凡不是线性的电阻元件就称为非线性电阻元件，或伏安特性曲线不是过原点的直线的电阻元件，称非线性电阻元件。
   
   
   

功率和能量

当二端电路元件的电压和电流取一致的参考方向时，其所吸收(即外界输入)的功率为
$$p(t)=u(t)i(t)$$

所吸收的能量为
$$w(t)=\int_{-\infty}^tp(\tau)\mathrm{d}\tau=\int_{-\infty}^tu(\tau)i(\tau)\mathrm{d}\tau$$
在上式中，设 $w(-\infty)=0$

电路元件有有源和无源之分，在一致参考方向下：$p(t)\geq 0$ 吸收功率 、$p(t)\leq 0$ 发出功率、$w(t)\geq 0$ 无源、$w(t)\leq 0$ 有源。

无源电阻元件的特征是它永不向外界放出
功率（隧道二极管和充气管尽管有负阻区，仍然是无源元件，因为当工作点在第1象限,静态电阻>0
只要特性曲线的一部分在第2和第4象限，就是有源电阻元件。如电压源、电流源。
一个无源电阻元件要具有有源性，只有当其特性曲线有可能落在在第2和第4象限才行，或者说特性曲线具有负阻区有可能具
备这种性质。

独立电源

• 电路元件可以分为两类，有源元件和无源元件

• 有源元件是向电路输入信号或是向电路提供能量

• 把向电路输入的信号叫激励信号，简称激励。经过电路的传输、处理后输出的信号叫响应信号，简称响应。

• 作为输出量，可以是电路任一部分的电压或电流
  

1. 独立电压源
   
   

当电压源的电压他恒等于零 ，则电压源相当于短路，同样，要去掉电压源的作用，即电压源置零，只要用短路代替电压源。

2. 独立电流源（简称电流源）
   

当电流源的电流会等于零，则电流源相当于开路，当要去掉电流源作用时，即电流源置零，可以用开路代替电流源支路。

3. 独立电源与电阻的组合

4. 几种典型的独立源信号波形及其符号

   1. 常量（即直流）K
      $$
      f(t) =K
      $$
      

   2. 正弦量
      $$
      A \cos (\omega T+\phi) = A \sin (\omega T+\phi + \frac{\pi}{2})
      $$
      信号是余弦函数、正弦函数，都称正弦量。正弦量三要素:$A$振幅、 $\omega$角频率、$\phi$初相位。
      

   3. 单位阶跃
      
      在 t= 0 时函数发生跳变，函数是不连续的。t=0时，$\varepsilon(t)=0$ 或 $\varepsilon(t)=\frac{1}{2}$ 或 $\varepsilon(t)=1$ ,在电路中是无关紧要的，可认为从 $0 \rightarrow 0_+$时，信号从 0 跳变到1。（注:其中0-是，由负值趋于零的极限0+是，由正值趋于零的极限，它们在数值上都是0）。单位阶跃作用于任何信号，相当于削去 $t<0$ 时的信号，即起到 $t=0$ 时的开关作用。
      
      延迟阶跃 $\varepsilon(t-t_0)$ ★延时：t—>t0
      

   4. 单位脉冲
      

   5. 单位冲激
      
      上面两条是对单位冲激函数的完整定义，单位冲激函数是单位脉冲函数的极限情况。如何理解：若单位冲激函数代表电流，则在六0时，将有1库仑的电荷投入电路。

      冲激函数和阶跃函数间的关系
      阶跃函数、冲激函数作为电信号来说，在电路分析（指线性系统分析）中占有很重要的地位，这两种函数是一类较为特殊的函数，属广义函数论的内容。从数学意义上看，它完全不同于普通函数，然而在一般情况下，仍能用普通函数中所用的处理问题的方法来解决一些问题。积分：$\int_{-\infty}^{t}\delta(t^{\prime})\mathrm{d}t^{\prime}=(\int_{-\infty}^{0-}+\int_{0-}^{0+}+\int_{0+}^{t})\delta(t^{\prime})\mathrm{d}t^{\prime}=0+1+0=\varepsilon(t)$ 微分：$\delta(t)=\lim_{\Delta\to0}P_{\Delta}(t)=\lim_{\Delta\to0}\frac{\varepsilon(t)-\varepsilon(t-\Delta)}{\Delta}=\frac{\mathrm{d}\varepsilon(t)}{\mathrm{d}t}$
      

   6. 单位斜坡
      

   7. 单位对偶冲激
      

      
      

受控电源

与独立电源不同，受控电压源或受控电流源的波形受到电路中其他支路的电压或电流控制。

受控源有两个口，称双口。注意口电压、口电流方向的规定。独立电源与非独立电源所起的作用完全不同，独立电源可用来对外电路输入信号，非独立电源用来模拟电子器件中所发生的现象。

运算放大器

运算放大器是当前应用非常广泛的一种器件。我们感兴趣的是该器件的外部特性。运算放大器的符号及对其实测而得到的输入输出特性曲线如图所示。

$u_-$ 对应的端子为 “-”。当输入 $u_-$ 单独加于该端子时，输出电压与输入电压 $u_-$ 反相，故称为反相输入端。$u_+$ 对应的端子为 “+”，当输入以单独由该端加入时，输出电压与 $u_+$ 同相，故称它为同相输入端。

输出 $u_0 = Au_i = A(u_+ - u_-)$

A 称为运算放大器的开环增益（放大倍数）。

右图为同相输入端接地的运算放大器及其用受控电源表示的模型。
常用的运算放大器的输入电阻 $R_i$ 很大，输出电阻 $R_o$ 很小，开环增益非常大，所以常把它看作理想的运算放大器。理想运算放大器具有下列参数：$R_i \approx \infty ;R_o \approx 0 ;A \approx \infty$。

由于 $A \approx \infty$ 而输出电压 $u_0$ 为有限值，所以 $u_i = \frac{u_o}{A} \approx 0 $。即两个输入端间可近似为短路（称虚短）;在同相输入端接地时，反相输入端与地几乎同电位（称虚地）。

反相器：

电源转换器：

运算放大器是有源元件：

电压跟随器：

理想变压器

理想变压器是实际变压器的理想化模型。一个实际变压器抽象为理想变压器的条件为：该变压器不消耗功率；它没有任何漏磁通，即两个绕组的耦合系数 k = 1 ;每个绕组的自感都是无穷大。

理想变压器输出端接一个负载电阻凡 如下图

有$u_i = n u_2 = -nRi_2 = -nR(-ni_1) = (n^2R)i_!$

理想变压器的重要性质：理想变压器输出端接有电阻R时，其输入端看过去虽仍是电阻，但其输入电阻值是原电阻R乘以匝数比之平方。

理想变压器吸收的功率
$$
p = u_1i_1+u_2 i_2 = (nu_2)(-\frac{1}{n}i_2)+u_2 i_2
$$
理想变压器是无损元件。它既不储存能量又不消耗能量，它能把输入端口流入的能量全部由输出端口传送出去。

注意：

• 变比 n 是理想变压器唯一的参数，它只改变电阻大小，不改变电阻的性质
• 它伏安关系中无导数项，是个静态元件
• 同名端颠倒时，用（-n）替代其电压-电流关系式
• 它常在无线电技术中用来实现最大功率匹配

回转器

理想回转器在电路图中的符号如下图

$$\left[\begin{array}{l}u_1 \ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & -\alpha \ \alpha & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}i_1 \ i_2\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{l}i_1 \ i_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{\alpha} \ -\frac{1}{\alpha} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u_1 \ u_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & g \ -g & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u_1 \ u_2\end{array}\right]$$

$\alpha$ 称回转比（或回转器电阻），$g = \frac{1}{\alpha}$ 称回转器电导

回转器所吸收的能量
$$w(t)=\int_{-\infty}^t p(\tau) \mathrm{d} \tau=\int_{-\infty}^t\left(u_1 i_1+u_2 i_2\right) \mathrm{d} \tau=\int_{-\infty}^t\left[\left(-\alpha i_2\right) i_1+\left(\alpha i_1\right) i_2\right] \mathrm{d} \tau=0$$

回转器是不耗能也不储能的器件。在回转器输出端口接一电阻，有

$$u_1=-\alpha i_2=-\alpha\left(-\frac{u_2}{R}\right)=-\alpha\left(-\frac{\alpha i_1}{R}\right)=\frac{\alpha^2}{R} i_1=\mathrm{R} i_1$$

从回转器输入端看进去，电路的量有变化，电阻$\mathrm{R}= \frac{\alpha^2}{R}$

负转换器

略 P170

第二章 电路分析的基本方法

电路的分类

按电路所含元件的性质（不包括电路中所含的独立电源）， 可对电路作如下分类 ：

一、支路电流法 目标：降低变量和方程数

以支路电流为求解对象，根据KCL列写独立节点方程，根据KVL列写独立回路方程，再用消元法、克莱姆法则、矩阵求逆等方法求解之。

支路电流法的总结 ：
以支路电流为求解对象，根据KCL列写独立节点方程，根据KVL列写独立回路方程。
有 $n-1$ 个，即 4-1=3 个独立节点方程。
有 $l=b-n+1$个，即 6-3=3 个独立回路方程。
有 $b=6$ 个独立支路方程（以电流表示电压） $u_1 = u_{s1}+R_1I_1$ $u_2 = u_{s2} + RI_2$ 等
电路中共2b个未知量，即求解6个电流和6个电压变量。
将支路方程代入KVL方程中消去支路电压变量，变成b个方程。
求出支路电流。最后，求出各个支路电压。